Gruppentheorie

Subduktion und Induktion

von

Roedel, Heinz

BuchGebunden

144 Seiten

Deutsch

Akademischer Verlag Münchenerschienen am15.03.2016

VorwortDie erste Bekanntschaft mit der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra hat der Autoran der Technischen Hochschule München im physikalisch-chemischen und elektrochemischenInstitut von Professor E. Ruch gemacht, wo er auch seine Diplomarbeit mit demTitel Beiträge zum Problem der Induktion von Darstellungen endlicher Gruppen angefertigthat. Seitdem hat ihn das Gebiet der Gruppentheorie immer wieder in seinen Bann gezogen, sodass er schließlich zum Entschluss gekommen ist, seine Kenntnisse in diesem Buch niederzuschreiben.Natürlich übersteigt diese Darstellung in Inhalt und Konzeption die damaligeDiplomarbeit, aus deren einleitender Problemstellung folgendes zitiert sei:Die zeitunabhängige Schrödingergleichung eines physikalischen Systems lautet bekanntlich:HÏ = EÏ. Besitzt der Hamiltonoperator H eine Symmetriegruppe , dann können dieEigenwerte E entartet sein: H(RÏ) = RHÏ = REÏ = E(RÏ); für alle R . Die EigenfunktionenÏ, die zum gleichen Energieeigenwert E gehören, spannen einen linearen Raum(Modul) auf, dessen Dimension gleich der Vielfachheit der Entartung des EnergieeigenwertesE ist. Dieser Modul vermittelt eine Darstellung der Symmetriegruppe des HamiltonoperatorsH. Diese Darstellung kann dann als Klassifikation der Energie E dienen.Wird die Symmetrie eines physikalischen Systems erhöht oder erniedrigt, dann wird dieEntartung des Energieeigenwertes im Allgemeinen zunehmen bzw. abnehmen. Dabei werdendie Darstellungsmoduln und Darstellungen der neuen Symmetriegruppe des Hamiltonoperatorsin einer bestimmten Weise mit den Darstellungsmoduln und Darstellungen derursprünglichen Symmetriegruppe des Hamiltonoperators zusammenhängen. Der Übergangvon der Darstellung einer Gruppe zur Darstellung einer ihrer Untergruppen wird alsSubduktion und der Übergang von der Darstellung einer Gruppe zur Darstellung einer ihrerObergruppen als Induktion bezeichnet.In dem vorliegenden Buch werden die Subduktion und die Induktion von Gruppen behandeltund zum besseren Verständnis in einen größeren Zusammenhang mit den angrenzendenGebieten der Gruppentheorie gestellt. So werden anfangs die Permutationsgruppen behandelt,in die sich nach A. Cayley jede endliche Gruppe isomorph abbilden lässt. Viele Beispielebeziehen sich auf die Permutationsgruppen, so dass ihre eingehende Behandlung zweckmäßigerscheint. Danach werden Eigenschaften spezieller Gruppen und Untergruppen untersuchtund die Untergruppen einer Gruppe in einem Verband übersichtlich angeordnet. Gefolgt wirddiese einführende Abhandlung von den Selbstabbildungen einer Gruppe, insbesondere vonderen automorphen Abbildungen, die selbst eine Gruppe bilden. Nachfolgend wird einÜberblick über die Darstellungstheorie gegeben, die ein zentrales Teilgebiet der Gruppentheorieist und vielfache Anwendung in den Naturwissenschaften findet. Schließlich werdenin den beiden letzten Kapiteln die Subduktion und Induktion behandelt, unter besondererBerücksichtigung der Moduln, in denen sich die Gruppen darstellen lassen. Den engenZusammenhang von Subduktion und Induktion vermittelt das Reziprozitätstheorem von F.G.Frobenius. Dieses Theorem findet auch unmittelbar in der Physik Anwendung. Mit seinerHilfe lässt sich z.B. das Jahn-Teller-Theorem ohne die Notwendigkeit einer detailliertenDiskussion einzelner Symmetrien und deren Realisierungsmöglichkeiten in Molekülenbeweisen (Theor.chim.acta (Berlin) 3,291-304, 1965). Im Anhang sind die Gruppentafeln vonverschiedenen Gruppenpaaren und deren Subduktion und Induktion aufgeführt.mehr

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KlappentextVorwortDie erste Bekanntschaft mit der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra hat der Autoran der Technischen Hochschule München im physikalisch-chemischen und elektrochemischenInstitut von Professor E. Ruch gemacht, wo er auch seine Diplomarbeit mit demTitel Beiträge zum Problem der Induktion von Darstellungen endlicher Gruppen angefertigthat. Seitdem hat ihn das Gebiet der Gruppentheorie immer wieder in seinen Bann gezogen, sodass er schließlich zum Entschluss gekommen ist, seine Kenntnisse in diesem Buch niederzuschreiben.Natürlich übersteigt diese Darstellung in Inhalt und Konzeption die damaligeDiplomarbeit, aus deren einleitender Problemstellung folgendes zitiert sei:Die zeitunabhängige Schrödingergleichung eines physikalischen Systems lautet bekanntlich:HÏ = EÏ. Besitzt der Hamiltonoperator H eine Symmetriegruppe , dann können dieEigenwerte E entartet sein: H(RÏ) = RHÏ = REÏ = E(RÏ); für alle R . Die EigenfunktionenÏ, die zum gleichen Energieeigenwert E gehören, spannen einen linearen Raum(Modul) auf, dessen Dimension gleich der Vielfachheit der Entartung des EnergieeigenwertesE ist. Dieser Modul vermittelt eine Darstellung der Symmetriegruppe des HamiltonoperatorsH. Diese Darstellung kann dann als Klassifikation der Energie E dienen.Wird die Symmetrie eines physikalischen Systems erhöht oder erniedrigt, dann wird dieEntartung des Energieeigenwertes im Allgemeinen zunehmen bzw. abnehmen. Dabei werdendie Darstellungsmoduln und Darstellungen der neuen Symmetriegruppe des Hamiltonoperatorsin einer bestimmten Weise mit den Darstellungsmoduln und Darstellungen derursprünglichen Symmetriegruppe des Hamiltonoperators zusammenhängen. Der Übergangvon der Darstellung einer Gruppe zur Darstellung einer ihrer Untergruppen wird alsSubduktion und der Übergang von der Darstellung einer Gruppe zur Darstellung einer ihrerObergruppen als Induktion bezeichnet.In dem vorliegenden Buch werden die Subduktion und die Induktion von Gruppen behandeltund zum besseren Verständnis in einen größeren Zusammenhang mit den angrenzendenGebieten der Gruppentheorie gestellt. So werden anfangs die Permutationsgruppen behandelt,in die sich nach A. Cayley jede endliche Gruppe isomorph abbilden lässt. Viele Beispielebeziehen sich auf die Permutationsgruppen, so dass ihre eingehende Behandlung zweckmäßigerscheint. Danach werden Eigenschaften spezieller Gruppen und Untergruppen untersuchtund die Untergruppen einer Gruppe in einem Verband übersichtlich angeordnet. Gefolgt wirddiese einführende Abhandlung von den Selbstabbildungen einer Gruppe, insbesondere vonderen automorphen Abbildungen, die selbst eine Gruppe bilden. Nachfolgend wird einÜberblick über die Darstellungstheorie gegeben, die ein zentrales Teilgebiet der Gruppentheorieist und vielfache Anwendung in den Naturwissenschaften findet. Schließlich werdenin den beiden letzten Kapiteln die Subduktion und Induktion behandelt, unter besondererBerücksichtigung der Moduln, in denen sich die Gruppen darstellen lassen. Den engenZusammenhang von Subduktion und Induktion vermittelt das Reziprozitätstheorem von F.G.Frobenius. Dieses Theorem findet auch unmittelbar in der Physik Anwendung. Mit seinerHilfe lässt sich z.B. das Jahn-Teller-Theorem ohne die Notwendigkeit einer detailliertenDiskussion einzelner Symmetrien und deren Realisierungsmöglichkeiten in Molekülenbeweisen (Theor.chim.acta (Berlin) 3,291-304, 1965). Im Anhang sind die Gruppentafeln vonverschiedenen Gruppenpaaren und deren Subduktion und Induktion aufgeführt.

Details

ISBN/GTIN978-3-940732-22-4

ProduktartBuch

EinbandartGebunden

FormatUngenäht / geklebt

Verlag

Akademischer Verlag München

ErscheinungsortMünchen

ErscheinungslandDeutschland

Erscheinungsjahr2016

Erscheinungsdatum15.03.2016

Seiten144 Seiten