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Einband grossUNIKATE 53: Mathematik
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Inhalt/Kritik

Vorwort
Dieser Band stellt eine Momentaufnahmeder Mathematik im Jahre2018 aus Essener Sicht dar. Dabeisind die Forschungsschwerpunkteunserer Fakultät - zum Teil mehrfach- vertreten: Algebraische Geometrie,Didaktik, Analysis, Optimierung,Stochastik und Numerik. DieseReihenfolge und die damit verbundeneAnordnung der Beiträge führtzu einer Reise durch die Mathematikvon eher abstrakten zu eher angewandtenThemen.Ein wichtiger Aspekt mathematischerForschung ist die Ergründungübergeordneter Strukturen, die sichvielfach in teils völlig unterschiedlichenGebieten anwenden lassen.Mathematischen Modellen auf derBasis partieller Differentialgleichungenbegegnet man in der Strömungsmechanikgenauso wie bei modernenMethoden der Bildverarbeitung. Unddie zugrundeliegenden Resultate ausder Variationsrechnung sind erstaunlichähnlich. Oft ist mathematischeForschung durch solchen Anwendungsbezugmotiviert und orientiertsich an konkreten Fragestellungenaus den Natur- und Ingenieurwissenschaften.Im Blickpunkt steht fürden*die Mathematiker*in dabei dieinnere Struktur der Abhängigkeitender beschriebenen physikalischenProzesse. Losgelöst von den technischenDetails der konkreten Anwendunglassen sich mathematischeObjekte und deren Zusammenhanguntersuchen. Die hierbei bewiesenenabstrakten Aussagen lassen sich nichtselten dann wieder auf andere Situationenanwenden.Die meisten relevanten Prozessein Natur und Technik sind genau wiedie interessanten Zusammenhänge inder Mathematik nichtlinear. Linearemathematische Modelle sind dagegenin der Regel eher langweilig.Übersetzt in das AnwendungsgebietMechanik würde dies beispielsweisebedeuten, dass eine Verdopplung derausgeübten Kraft auch die doppelteVerformung nach sich zieht. Umfestzustellen, dass dies nicht besondersgut mit der Realität übereinstimmt,muss man sich nicht einmalvom Schreibtisch weg bewegen. Esreicht völlig, einen Radiergummi festzu drücken oder eine Büroklammerzu verbiegen. Bei kleinen Kräftenwird sich die Büroklammer nach demLoslassen wieder in den Ausgangszustandzurück bewegen, bei größerenKräften bleibt sie dauerhaft verformt.Nichtlinearitäten treten in derMathematik in vielfältigen Formenauf und sollen daher als roter Fadendieses Heftes dienen.In der algebraischen Geometriewerden, grob gesprochen, Lösungsmengennichtlinearer Gleichungenin Verbindung mit algebraischenStrukturen gebracht. Oft ergebensich überraschende Zusammenhängezwischen verschiedenen mathematischenTeilgebieten. Recht prominentist beispielsweise das sogenannteLanglands-Programm, bei dem Aussagen aus der Zahlentheorie mit derDarstellungstheorie von Gruppenin Verbindung gebracht werden.Ebenso unerwartet lassen sichzahlentheoretische Methoden zurBestimmung von Singularitäten vonHiggs-Bündeln aus der theoretischenPhysik einsetzen. Diese unerwartetenQuerverbindungen lassensich nutzen, um offene Fragen ineinem Teilgebiet der Mathematikmit bereits etablierten Methoden ausdem jeweils anderen anzugehen.Interessant ist in diesem Zusammenhangauch, wie solche abstraktenmathematischen Konzepte immenschlichen Gehirn verarbeitetwerden. Die Arbeitsgruppen derDidaktik der Mathematik beschäftigensich hier mit der Fragestellung,was in der Schule zum tiefliegendenVerständnis mathematischer Zusammenhängenötig ist.Die Verbindung zwischenGeometrie und der Analysis vonDifferentialgleichungen äußert sichbeispielsweise bei der Untersuchungvon Symmetrieeigenschaften. Oftmalssind praxisrelevante Differentialgleichungennicht nur nichtlinear,sondern auch nichtglatt. Dies klingtauf den ersten Blick merkwürdig,da man nichtglatte Funktionenja eben nicht differenzieren kannund Differentialgleichungen somitkeinen Sinn zu machen scheinen.Eine Verallgemeinerung des Begriffsder Ableitung führt aber dazu, dasssich gerade die besonders interessantennichtglatten Bereiche vonLösungen entsprechender Differentialgleichungendeutlich abzeichnen.Moderne Algorithmen zurBilderkennung basieren auf solchenmathematischen Prinzipien, diesich auch als Optimierungsproblemauffassen lassen. Vorsicht ist beimUmformulieren nichtlinearer Optimierungsproblemegeboten, da manunter Umständen Lösungen verlierenkann.Ganz andere nichtlineare Zusammenhängetreten in der Stochastikauf, wenn es um die Lösung vonEntscheidungsproblemen mittelstiefer neuronaler Netzwerke geht. Inder Evolutionsbiologie spielen wahrscheinlichkeitstheoretischeModelleebenfalls eine wichtige Rolle, etwa beider Fragestellung, inwieweit Altruismusfür das Fortbestehen einer Populationförderlich ist.Wandernde und pulsierendeWellen in Wasser und Feststoffenkönnen sich sehr unerwartet verhalten,was sich wiederum mit derModellierung mittels nichtlinearerDifferentialgleichungen erklären lässt.Ähnliches gilt für die mathematischeBeschreibung des Verhaltens vonPackeis, bei der nichtlineare Modelleaus der Strömungs- und aus der Festkörpermechanikkombiniert werden.Und schließlich führt die optimaleBeeinflussung von elektromagnetischenFeldern zur Generierung supraleitenderMaterialien auf hochgradignichtlineare Fragestellungen.Abschließend soll noch daraufhingewiesen werden, dass diese Auswahlvon Themen zwar eine großeBreite besitzt, aber durchgehendForschungsfragen der Mathematikauf der Höhe der Zeit behandelt.Bei allen Beiträgen leitet mindestenseiner der Verfasser derzeit ein Drittmittelprojektmit Bezug zur jeweilsvorgestellten Thematik, teilweise imRahmen von umfassenderen Forschungsverbündenwie Schwerpunktprogrammen,Sonderforschungsbereichenoder Graduiertenkollegs.Bleibt mir nur noch, Ihnen eineinspirierende Lektüre zu wünschen!Gerhard Starke,Dekan der Fakultät fürMathematik 2016-18mehr

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